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定理6 是 N.H. Abel 在1826年首先證明的。有了這個定理之後，我們不妨如此說， 方程式根式解的領域已沒有多少有意義的問題值得研究。不管我們用如何巧妙的方法導出三次或四次方程式根的公式，在數學上的意義是微乎其微。 Galois 理論的意義至少有兩個。第一，如果把體的結構的問題比做一座高山， 從某個角度來看（體的角度）簡直是懸崖峭壁，無處攀援，從置換群的角度來看， 山窮水盡之餘卻是柳暗花明的世界。這種處理數學問題的手法，以後一再的被數學家借鏡。 第二，Galois 理論開創了群論 (group theory) 的研究。 並且 Galois 的經驗告訴數學家，研究某個數學結構（集合、群、環、體、向量空間、拓樸空間、微分流型）的變換群 (transformation group)，經常有助於瞭解這個數學結構， 這就是表現理論 (representation theorey) 何以如此重要的原因。 Nicholas Bourbaki 是二十世紀許多第一流數學家的團體的代稱，他們寫了許多書，其作者都冠以 Bourbaki 的名字。Bourbaki 的《Algebre》(代數學)自然也介紹 Galois 理論。 Bourbaki 認為，Galois 理論是極重要的數學工具，是從事高深數學研究的人必須具備的基礎知識； Galois 理論之中，最重要的是 Galois 理論的基本定理(定理4)， 而所謂根式解的充分必要條件(定理3)只不過是 Galois 理論的一個習題罷了。 至於五次一般方程式無根式解(定理6)這個定理，在 Bourbaki 的書中根本沒有出現的資格， 因為 Bourbaki 認為那已經是一個死的問題！Bourbaki 的論斷是明睿，還是偏頗， 那倒是值得我們好好的想想看了。 |
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2020/5/6 下午 04:56:24
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| 留言作者/內容〈872〉 | |
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中國古代的數學建立在籌算（宋金元之前）與珠算的基礎。在這基礎，方程式求解問題的研究在宋金元時代達到最高峰。其代表人物是秦九韶（1202∼1261，南宋人）、李冶（1192∼1279，金末元初人）和朱世傑（約1260∼1320，元人）。他們的主要成就是，聯立同餘方程式，一元高次方程式的近似根，立方程解問題的代數學方法，多元高次聯立方程式 |
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2020/5/6 下午 04:53:54
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| 留言作者/內容〈871〉 | |
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履歷表: 姓名:丁明揚 學歷: 德國魯爾大學 數學系 083年10月-086年07月 博士 國立清華大學 數學系 076年09月-078年06月 碩士 國立清華大學 數學系 072年09月-076年06月 大學(學士) 經歷: 國立高雄師範大學理學院數學系 教授 102年03月-至今 國立高雄師範大學數學系 副教授 102年01月-102年03月 國立高雄師範大學數學系 副教授 098年09月-102年01月 國立高雄師範大學 助理教授 087年02月-098年09月 國立高雄師範大學 助教 081年08月-083年10月 國立清華大學數學系 專任總助教 080年08月-081年07月 亞基米德我想一定不必特別介紹。大家在中學裏都讀過他的槓桿原理，還有他的浮體原理以及眾所皆知的裸奔（「我找到了！」）。他曾發明過許多實用工具以及軍事武器；傳說當羅馬人攻城時，他曾利用拋物鏡面聚射陽光，焚毀了不少敵人的兵船。 亞基米德（公元前287∼212年）是希臘人，生長在西西里島，（當時整個意大利南部及西西里島都在希臘版圖內。他年青的時候，曾到亞歷山大城接受教育，返回故居後也經常與那裏的學者保持聯繫，亞歷山大城在埃及，是當時西方世界科學文教的中心；這裏我們順帶提一提它的輝煌的歷史。 原來亞歷山大大帝東征西伐，建立了一個龐大的帝國後，在公元前330年左右，曾經親自精心設計，要在埃及建造一個嶄新的城市，作為這個帝國的首都──就是我們的亞歷山大城。可惜不久，新城未完，大帝已經暴斃。國家經過一段時期的混亂後，分裂成三個帝國，其中埃及部分，由一位托勒密將軍接管。他繼承了亞歷山大大帝的遺志，大力延攬世界各地學者，來到亞歷山大城，由政府金錢支助，讓他們作自由研究。這大概是世界上最早的國科會吧。托勒密王在公元前290年建造了一所研究中心，定名為 Museum（Muse 是希臘神話中司掌文學、科學、藝術等的九位女神之一；現今博物館都叫 museum，由來即在此）。另外他還建立了一個圖書館，據說擁書七十五萬之多，一時也成為世界抄書事業的中心。（請記得當時還沒有印刷術）果然不出多少年，亞歷山大城已成為西方世界文化、商業的中心了。社會的繁榮，科技的進步，自不在話下，例如當時己有蒸汽車，計程表，有水力操作的大型樂器，有用壓縮空氣操作的大砲，廟裏還有嚇唬人的神像，利用熱空氣揮舞四肢。 以後羅馬人興起，首先征服了意大利及西西里島；亞基米德就是死在羅馬士兵手中。再以後的歷史，我們也得簡單地一提，因為它與我們下面要說的故事也很有關係。羅馬人在公元前146年征服了希臘本土。托勒密王朝的末代皇帝，就是著名的「埃及艷后」克利奧派屈拉，她死在公元前31年。早先在公元前47年時，凱撒大帝曾經放火燒光了亞歷山大城港外的埃及海軍，大火延至城內，亞歷山大圖書館藏 書幾乎全被燒光。 羅馬帝國以後又分為東西兩帝國。東羅馬帝國包括了希臘、埃及、中東及現今的土耳其。其間基督徒的興起，對早期科學有非常破壞性的影響。他們排斥多神的希臘異教，因此焚書坑儒，極力摧毀希臘文化。據記載公元392年羅馬皇明令禁止異教活動的一年，埃及一所大廟裏就有三十萬希臘書籍被焚。（這些書是當時亞歷山大圖書館收藏不下才被移來的）當時凡是記載在牛皮羊皮上的希臘文書，統統要被充公，洗去上面的文字，另抄基督徒的經典。光輝的希臘文化，從此便一蹶不振沒落至今。七世紀左右，埃及被回教徒征服，亞歷山大城中尚存的一些希臘文書，又遭受了一次火禮，許多學者都逃到康士坦丁堡（東羅馬帝國的首都，即今土耳其的伊斯坦堡）。康士坦丁堡一直拖到十七世紀左右，才被土耳其人消滅。 現在我們再回過頭來談談亞基米德。亞基米德被很多人認為有史以來三大數學家之一（其他兩人是牛頓和高斯），他曾找出許多物體的面積、體積。 他用的證明方法，叫做「窮盡法」(method of exhaustion)；這個方法在歐幾里得（或更早）便曾被用過，它跟現在我們積分的定義並沒有什麼差別。例如說, 圓的面積，可以由內接多邊形及外切多邊形的面積來迫近。因此積分的觀念，早在公元前便已經有了。 我們現在讀微積分，大多是從微分開始，然後再讀到積分，這顯然不是歷史的順序：微分要到十七世紀才由牛頓，萊布尼茲等人創出。為什麼微分、積分的觀念要相差幾乎兩千年之久，可能也很自然。由於實用的緣故，人們很自然的會考慮到面積體積問題；但是速度的變化率，曲線在某點的斜率等等，顯然沒有這麼迫切的需要。 我們現在求積分，通常都會覺得還很容易（除了那些考試時才碰到的問題外）。這是因為我們知道了微分的技巧以及微分及積分之間的關係─所謂 "Fundamental theorem of calculus"。換句話說，我們求積分時，幾乎從來沒有要按照積分的定義來求取答案的。希臘人可不同了。再加他們還沒有極限的具體觀念，更不能談無窮級數的和，因此每一個問題的解答，都需要相當程度的智巧。他們證明一個物體的面積是 A 時，先假設它大於 A，再用「窮盡法」中的迫近方法，在有限步驟內得到一個矛盾，同理他們又證明這個面積也不能小於 A。這個描述似乎有些含糊，讀者耍知道詳細的情形，可以參見參考資料3。這裏要請注意的是，他們必須先認定這個面積是 A，然後再證明非它不可。 後人讀到亞基米德在面積、體積方面的許多工作，常常驚異於他證明的嚴密（遠超過牛頓時代的標準），以及他的直觀先見。尤其是後者；例如他怎樣想到這些物體的面積該是什麼呢？是不是他還有其他方法，能夠事先看出這些結果來，換句話說，他是否另有秘法？ 果然，亞基米德另有秘密。不過這裏所說的秘密，並不是他故意隱而不宣的秘訣，而是由於後來政治．宗教等等因素所造成的。這個秘密，直到二十世紀初才被揭開！ 話說1906年，伊斯坦堡一所圖書館內，發現一套記錄在皮料上的古經，除了上面的文字外，下面還隱隱出現另一層希臘古文。顯然原來的文字被用一種油料洗刷過，再在上面重寫新的，這層油經過長久的時間，已經漸漸消失，使得原來的文字又重現出來。原文中有幾何圖形，顯然是數學著作。於是他們便請了當時權威的荷蘭語文學家海伯 (Heiberg) 前來驗認。海伯花了相當的時間，恢復了原文，並且幾乎全部釋譯了出來。這是數學歷史研究上，一個偉大的發現。 原來亞基米德畢生著作，據記載共有十餘種，其中少數由於第一節裏所說的原因，早已經失傳了。這次海伯所釋譯的，發現就是亞基米德的幾部著作；而且更令人驚喜的，是因為其中一部，叫做《方法》(The Method)，就是他久已失傳的作品！這本「方法」，是用亞基米德致友人書的形式寫成的，內容是解釋他如何利用力學的方法，得到許多物體的面積、體積。這裏所謂的力學方法，就是他自己出名的槓桿原理！亞基米德認為他的力學方法，似乎不夠「嚴密」，因此他用此法得到了這些結果後，另外又用了嚴密的「窮盡法」再作證明。其實照我們現在看來，他的力學力法，不但新奇驚人，而且也絲毫無不嚴密之處（這是我們更清晰的瞭解了積分的定義的緣故）。 現在我們開始討論數學。讓我們來看看亞基米德如何利用槓桿原理，得到球體體積的公式。 |
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2020/4/27 下午 05:19:16
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| 留言作者/內容〈870〉 | |
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數學是用來描述自然和人文現象的工具，這點跟其它科學並沒有兩樣。所不同的是，數學看重在探求一個現象的各種量，以及量與量之間的因果關係。用數學語言來說，分別就是數與函數的概念。因此中小學數學課程的主要內容就在於熟悉數與函數這兩個重要概念，以作為進一步探求一個現象的未知數，以及各種量之間的函數因果關係之基礎。 事實上，中小學的數學主要都環繞在探討數的運算以及如何利用代數方法來處理問題，再輔以坐標幾何與向量幾何作為處理問題的轉化工具。至於較高層次的函數概念才剛剛萌芽。我們只學到一些基本的函數模型，如多項函數，指數函數，對數函數，三角函數等。要更上一層樓研究函數的性質，或尋求一個現象各種量之間的函數因果關係，笛卡兒與費瑪的坐標幾何是施不上力的，一直要等到牛頓與萊布尼慈引入微積分的概念及一套方便的操作記號後，問題才告解決。從此開始了近代數學的蓬勃發展。 我們要強調，數學的主題就是處理函數問題，也就是研究函數關係與找函數關係。大致說來，函數可分為連續型與離散型，這分別是由於自然界的量有連續量與離散量而來的。一般說來，定義在連續集（如區間）上的函數屬於前者，而定義在離散點集（如 N 或 Z）上的函數屬於後者。事實上，離散函數就是裁們所熟悉的數列。對付這兩類函數，分別就有微積分與差和分，更進一步而有微分方程與差分方程。其實連續與離散之間的差別往往並不那麼大，因為連續的東西可以離散化，而對一個粗心的人來說，離散的東西差不多就看成是連續的。因此可以想像得到，連續與離散之間具有很多類推關係，這分別是微積分與差和分的類推。 本文的目的是要將差和分與微積分作一整理，尤其要強調它們之間的類推。只有在類推的觀照下，才容易掌握住所學的東西。本文對於學過微積分的人，可作為全局的導向和歸位；對未學過微積分的人，也可作為課前的預習。 |
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2020/4/14 上午 04:33:12
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| 留言作者/內容〈869〉 | |
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學習數學的經驗告訴自己「數學是很容易忘的」。這其中的原因乃是因為我們所學的數學是定義、定理、證明，這種三段式的數學。沒有動機，缺乏直觀，如此的數學如果你不曾打退堂鼓我還真的佩服，在這篇文章我們將以直觀的角度從幾何與物理的觀點來討論 Green 定理。 微積分基本定理可說是微積分最重要的結果之一，而線積分是一維積分的推廣， 因此我們面對線積分是否有相類似的結果： 線積分與雙重積分 (double integral) 之關係為何？ 其答案是肯定的──Green 定理： 沿著封閉曲線 C 之線積分可化為 C 所圍區域 $\mathcal{R}$ 之一般雙重積分（面積分）。 這個定理最早出現是由英國自我教育的數學物理學家 George Green（1793∼1841）於1828年研究電學 (electricity) 與磁學 (magnetism) 所發現的，當然後來高斯 (Gauss) 等人也發現這結果，Green 的結果讓我們覺得非常之興奮，也更體會伽利略所言 數學是瞭解大自然的語言。 學數學若知道一些物理讓妳（你）永遠不曾感到孤單。 Green 定理是數學分析中最重要的定理之一，而在三維與更高維空間的推廣──Stokes 定理與散度定理 (Divergence Theorem) 則構成了應用數學的基礎。 |
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2020/4/14 上午 04:29:29
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| 留言作者/內容〈868〉 | |
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類曲線所圍成的區域及空間中球面、圓錐等的面積體積。至於一般的求積問題，對於十七世紀以前的人類，仍沒有一套普遍的方法。如果硬將概念與計算拆成兩個層次，積分該說是易懂而難算。 反過來，微分是難懂而易算，直到十七世紀人類才在某種特定的社會條件下認識了微分。更值玩味的是從牛頓（1642∼1727）完成《De Analysis》（約在1696年）及萊布尼茲（Gottfried von Leibniz, 1646∼1716）在《Acta Eruditorum》發表他微積分的第一篇文章以後兩百年間，微分的計算雖已廣泛應用到數學與其他相關科學，但微分的概念仍找不到相對嚴格的定義。可喜微分的概念雖然艱澀，但它的計算與積分正好相反，非常簡單明白。基於這個特點，在微分發明之後數學的發展進入了一個新的紀元。迄今數學的主要部門，連續數學 (continuous mathematics) 一直脫不開它的應用，甚至形式上較為簡易的離散數學 (discrete mathematics) 中很多分支也因借用微分計算的類推而得以發展。 同樣求積問題因借助微分的計算得以全面發展，這裏我們要說明的正是這一個過程。固然，所謂的微積分基本定理是介於微分與積分間的橋樑，它將求積的問題化成微分的問題，但是這條橋樑，畢竟是自然易明。真正難產的還是微分本身。 |
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2020/4/14 上午 04:19:40
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| 留言作者/內容〈867〉 | |
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求積問題來自社會發展的實際需要，各民族都不約而同長時間在為它獻出心力。但三等分角則來自希臘雅典時期柏拉圖一干人的智力遊戲，柏拉圖不曾正視社會需要，自己限制作圖的工具來束縛自己，中國人、印度人、日本人在同程度文明的時間裏，並沒有出現這類問題。沒有任何一個好的數學家，任何一個明白數學功用的數學工作者，對這一類問題發生過興趣。 求積問題在兩千年求解的過程中，不斷提供了一系列的方法與概念，刺激數學往高處發展；窮盡法產生了人類對極限概念的初期認識，對於實數論的產生有一定的作用，無限求和法更引起人類去探求無限級數的求和，這些都成為今日數學分析的主題。另一方面，求積問題也大大推展了幾何學的發展。 可是三等分角問題，自柏拉圖提出以來，兩千年間看不出對於數學進展有何貢獻，若有，那便只是基礎的平面幾何上圓與直線的關係罷了。甚至當它得到解決時，也不是因要解決它而得解決。作為代數學主流的方程式論，發展到一定階段，有了拓廣體的概念後，三等分角的問題只成了一個輕鬆的習題，便被證明為不可解了。 |
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2020/4/14 上午 04:14:45
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| 留言作者/內容〈866〉 | |
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∫ x^x dx = ∫ e^ 知 (xlnx) dx = ∫ Σ 道 (k=0~∞ 版 ) (xlnx)^k * 1/k! dx = Σ(k=0~∞) 1/k! * ∫ x^k * (lnx)^k dx = Σ(k=0~∞) 1/k! * (-1)^(-k) * (k + 1)^(- k-1 ) * Γ [k+1，(- k-1 )lnx] + C (x^x)’ = x^x * (1 + lnx) x^x = ∫ x^x dx + ∫ x^x * lnx dx ∫ x ^x dx = x^x - ∫ x^x * lnx dx，後面那個積分不權可積 |
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2020/4/13 下午 05:25:02
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| 留言作者/內容〈865〉 | |
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履歷表: 姓名:丁明揚 學歷: 德國魯爾大學 數學系 083年10月-086年07月 博士 國立清華大學 數學系 076年09月-078年06月 碩士 國立清華大學 數學系 072年09月-076年06月 大學(學士) 經歷: 國立高雄師範大學理學院數學系 教授 102年03月-至今 國立高雄師範大學數學系 副教授 102年01月-102年03月 國立高雄師範大學數學系 副教授 098年09月-102年01月 國立高雄師範大學 助理教授 087年02月-098年09月 國立高雄師範大學 助教 081年08月-083年10月 國立清華大學數學系 專任總助教 080年08月-081年07月 邏輯──數學能力的優異 1. 喜歡思考、閱讀、或談論與數理相關的問題。 2. 計算能力優異，數字概念良好。 3. 符號運用的能力優異，抽象思考能力強。 4. 能利用圖形、符號等代表或簡化複雜的資訊。 5. 歸納能力強，統合能力良好。 6. 演繹能力強，邏輯推理清晰。 7. 能夠覺察問題，找出問題的癥結所在。 8. 能用多種方式解題，思考靈活。 9. 願意嘗試超乎其年齡水準的數理題目。 10. 喜歡動手作實驗，具有獨立研究的能力。 |
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2020/4/13 上午 07:45:27
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| 留言作者/內容〈864〉 | |
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現代數學在方法上最明顯的特色是它的演繹性，就是由基本定義與公理出發，經邏輯推論到所有定理的發展方式。採取這種方法並非偶然，而是有內在的需求。我們要把一套概念講清楚，必須用比較簡單的概念來解釋，但是這些概念又需要再加澄清，如此繼續下去，如果不曾周而復始得到一個什麼也說不清的惡性循環，便會無限延伸下去，達到一個不可知的前端。人類尋求知識的目的在組織自己對外在的認識，而去了解事物的表象與本質，因此在沒有墜入不可知的深淵前，必定會在某些我們直覺已認為意義相當清晰的概念處停住。我們把這些概念作為理論發展的基礎，不再去解釋它們的意義，也就是說暫時拋開它們的具體內容。這些概念我們稱為基礎概念。從此以後在我們理論發展的過程中，一切的概念都要由這些基礎概念定義出，否則便不能採用。基礎概念間如果彼此毫無關聯，顯然無法用來建立起一套有意義的理論，那麼在聯繫起基礎概念的敘述中，我們又必須挑出一些在認識上感覺最明白的作為出發點，這些敘述我們稱為公理。自此我們便用邏輯的方法，由基礎概念與公理演繹出所有的定理，而一切不能由這個程序推得的敘述，我們便不認為它是這套理論裏正確的命題。現代數學中各門理論，基本上都是由這個演繹方法組織起的。不過比較複雜的理論，除了自己的基礎概念及公理外，常常要引用別的理論的結果。所以嚴格說起來，那些理論的基礎概念及公理也必須包括進來。但是為表達的簡明，我們通常不這樣全套寫出。譬如大部分的理論都引用集合論的概念與定理，而一切數學理論系統必須立足於邏輯系統上，否則便無法作推論了。 |
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2020/4/12 下午 05:17:34
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