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賴老師數學教室留言板

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留言作者/內容〈736〉

建功高中 葉昱彤

老師好~我想請教第四題~謝謝您!

 回覆此篇留言回覆   Hidden:   2016/2/21 下午 08:17:34  回覆:2016/3/17 下午 05:29:09  ()
【胡孟青回覆】
設C對Z軸之投影點為D, 則AD即為所求

而AD=AC*cos角CAB= 1*(1/根號3) =1/根號3

(由三角形ACB為直角三角形可求出cos角CAB)

2016/2/23 下午 03:43:56 - 1樓  回覆此篇留言回覆

【建功高中 葉昱彤回覆】
老師不好意思,我還是不太懂耶~~請問為何AD=AC*cos角CAB呢??謝謝您!

2016/2/23 下午 09:00:29 - 2樓  回覆此篇留言回覆

【胡孟青回覆】
因為三角形ACD為直角三角形(角D為直角)

因此AD=AC*cos角CAD(同時也就是角CAB)

2016/2/23 下午 10:40:03 - 3樓  回覆此篇留言回覆

【建功高中 葉昱彤回覆】
好的~謝謝您!

2016/2/23 下午 11:42:16 - 4樓  回覆此篇留言回覆

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留言作者/內容〈735〉

南投高中 楊小傑

老師晚安:

請教老師以下這幾題題目

1. f(x)=[x-(0.5)^1/2][x-(1.5)^1/2][x-(2.5)^1/2]......[x-(9.5)^1/2]<0

請問有幾個正整數滿足上面的不等式?


2. f(x)=2014^x   g(x)=x^2014
下列敘述何者正確?

(1)f(x)=g(x)有兩個正根
(2)f(x)=g(x)有一個負根
(3)f(2)>g(2)
(4)f(2013)>g(2013)
(5)f(2015)>g(2015)

麻煩老師了...謝謝^__^

 回覆此篇留言回覆   Hidden:   2016/2/16 下午 11:40:42  回覆:2016/3/27 下午 11:03:19  ()
【胡孟青回覆】
1. 先將左式的十個根列在數線上,此十個根會將數線分割成11個區塊

由右至左為正負錯列, 故小於0的解為根號(0.5)<x<根號(1.5)

或根號(2.5)<x<根號(3.5),...依此類推到根號(8.5)<x<根號(9.5)

而正整數1介於根號(0.5)與根號(1.5)之間(合)

2介於根號(3.5)與根號(4.5)之間(不合)

3介於根號(8.5)與根號(9.5)之間(合)

故共有2個正整數解

2016/2/20 上午 01:49:08 - 1樓  回覆此篇留言回覆

【胡孟青回覆】
2. (1) 由f(1)=2014>g(1)=1, f(2)=2014^2<g(2)=2^2014

可知f(x)=g(x)有一根介於(1,2)之間,

而f(x)=g(x)有一明顯解為2014, 故共有兩正根。

(2) 由f(0)=1>g(0)=0, f(-1)=1/2014 < g(-1)=1

可知f(x)=g(x)有一根介於(-1,0)之間

(3) f(2)=2014^2<(2^(12))^2=2^24<2^2014=g(2)

(4)(5) 指數函數底大於1時, 在x值夠大時, 會增加得比多項式快

而f(2014)=g(2014)

可知f(2013)<g(2013)

而f(2015)>g(2015)

故選(1)(2)(5)

2016/2/20 上午 01:54:16 - 2樓  回覆此篇留言回覆

【南投高中 楊小傑回覆】
感謝 老師熱心教導!^__^

2016/3/27 下午 11:03:19 - 3樓  回覆此篇留言回覆

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留言作者/內容〈734〉

南投高中 楊小傑

老師:  新年快樂!^__^


學生請教以下這幾題..

1.  一隻青蛙延數線跳躍..第一次跳一單位..第二次跳兩單位..依此類推..
   共跳50次..若青蛙從原點起跳..先往正向跳..途中僅轉向2次..最終跳到-1
  則青蛙在第幾次跳躍後..需要做第一次轉向?

2.
   公司營業額1月到5月共3860萬元..6月500萬元...經理希望7月的營業額成長x%
    8月再成長x%  9月10月兩月的和等於7月8月兩月的和...
    這樣就可達成1月到10月的總營業額至少7000萬元的目標..請問x的最小值為?  
    (數列與級數單元)

麻煩老師教我...謝謝!^__^

 回覆此篇留言回覆   Hidden:   2016/2/14 上午 08:26:00  回覆:2016/2/16 下午 01:38:58  ()
【胡孟青回覆】
1. 假設青蛙先跳n次, 再轉向跳到第m次, 再轉向直到跳完50次

則可知1+2+...+n-(n+1)-(n+2)-...-(m) +(m+1)+...+50=-1

而1+2+3+...+50=50*51/2 = 1275

可知青蛙應該往正向跳了637步, 往負向跳了638步

亦即自第n+1次到第m次之和為638

由(n+1)+(n+2)+...+m=(1+2+...+m)-(1+2+...+n)=m(m+1)/2 - n(n+1)/2 =638

得m(m+1)-n(n+1)=1276

由m(m+1)>1276可知m>=37

當m=37代入可得n=7,故青蛙跳完第七次後即準備轉向

2016/2/16 上午 12:24:39 - 1樓  回覆此篇留言回覆

【胡孟青回覆】
由題意知3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)^2]*2 >=7000

設t=1+x%, 則上式變成4360+1000t+1000t^2>=7000

移項得1000t^2+1000t-2640>=0,  除以40得25t^2+25t-66>=0

分解得(5t+11)(5t-6)>=0, 故t>=6/5, 即1+x%>=1.2

得x%>=0.2=20%, 即x>=20

2016/2/16 上午 12:27:53 - 2樓  回覆此篇留言回覆

【南投高中 楊小傑回覆】
感謝老師教導...學生明白了!^__^

2016/2/16 下午 01:38:59 - 3樓  回覆此篇留言回覆

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留言作者/內容〈733〉

南投高中 楊小傑

老師:  新年快樂! 猴年新大運!!^__^

學生請問您以下這幾題

1. 已知 a跟b 都大於等於0  2a+b=5,若y=2^a + 2^b    求y的範圍?    (指數函數單元題目)


2. 已知 -1小於等於x小於等於2   求y=(4^x+4^-x)-8(2^x+2^-x)+20 的範圍?  (指數函數題目)
   自己只知道 設 2^+2^-x=t   4^x+4^-x= t^2 - 2

3.  求 x^5 除以(x+1)^2 的餘式?  (多項式單元)

4.  求 f(x)=3x^4-4x^3-2x^2-5x+2=0 的四根?  (多項式單元)


麻煩老師有空時再教我  謝謝^__^





 回覆此篇留言回覆   Hidden:   2016/2/12 下午 03:59:58  回覆:2016/2/16 下午 01:37:01  ()
【胡孟青回覆】
1. 利用算幾不等式, (2^a+2^a+2*2^b)/3 >= [(2^a)(2^a)(2*2^b)]^(1/3)

得(2*2^a+2*2^b)/3 >= [2^(2a+b+1)]^(1/3) = (2^6)^(1/3)=2^2=4

故2^a+2^b >= 6

2. 照你的假設,原式=(t^2-2)-8t+20=t^2-8t+18=(t-4)^2+2

但17/4>=t>=2 (t的最小值請利用算幾不等式, 可知x=0時t有最小值2)

則原式在t=4有最小值為2, t=2時有最大值為6

2016/2/15 下午 12:53:16 - 1樓  回覆此篇留言回覆

【胡孟青回覆】
3. 最快的方式就是用二項式定理展開

x^5= [(x+1)-1]^5 =(x+1)^5-5(x+1)^4+10(x+1)^3-10(x+1)^2+5(x+1)-1

故餘式為5(x+1)-1=5x+4

4. 原式可分解成(x^2+x+1)(x-2)(3x-1)

(請利用牛頓定理找有理根)

2016/2/15 下午 12:59:23 - 2樓  回覆此篇留言回覆

【南投高中 楊小傑回覆】
感謝老師教導...學生看得懂了!^__^

2016/2/16 下午 01:37:01 - 3樓  回覆此篇留言回覆

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留言作者/內容〈732〉

葉昱彤

老師好~我想請問第2題的E選項、第3題、第10題~謝謝您!

 回覆此篇留言回覆   Hidden:   2016/2/11 下午 06:18:05  回覆:2016/2/16 下午 09:37:48  ()
【胡孟青回覆】
2.(E)最小值產生在 tAB+AC垂直AB的時候

此時(tAB+AC).AB=0 (內積為0)
     __
可得tAB^2 +AC.AB=0  -> 25t+100=0  -> t=-4

則-4AB+AC=(12,-9), 其長度為15

2016/2/14 下午 11:29:17 - 1樓  回覆此篇留言回覆

【胡孟青回覆】
3. (B) 兩相異直線有交點, 必交於一點, 故Δ不等於0

(E)因為Δ不等於0故恰有一組解

2016/2/14 下午 11:34:45 - 2樓  回覆此篇留言回覆

【胡孟青回覆】
10. 所求=[2-(-1)](3-0)=9倍的AB,AC所張之平行四邊形面積

而AB,AC所張平行四邊形面積=2*1*sin30度=1

故所求=9

2016/2/14 下午 11:38:01 - 3樓  回覆此篇留言回覆

【建功高中 葉昱彤回覆】
謝謝老師~

2016/2/16 下午 09:37:50 - 4樓  回覆此篇留言回覆

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留言作者/內容〈731〉

葉昱彤

老師好~我想請問第2題的E選項、第3題、第10題~謝謝您!

http://www.tovery.net/showpic.asp?u=jflai&f=2515731519538329.jpg

http://www.tovery.net/showpic.asp?u=jflai&f=1061402121209630.jpg

http://www.tovery.net/showpic.asp?u=jflai&f=0283615797665520.jpg

 回覆此篇留言回覆   Hidden:   2016/2/11 下午 06:11:30 ()

留言作者/內容〈730〉

南投高中 楊小傑

老師  農曆新年快樂呀! 

請問以下有關第一冊的兩題..

1.   由1開始的自然數依次寫下去..12345678910111213...
一直寫到第200位為止..
那麼這個數用9除的餘數是多少?

(1) 4  (2)  5  (3)  6   (4)  7    (5)以上皆非

2.    有一個圓  線段AB是直徑  線段CD 垂直 線段AB 
 若線段AC=2  線段BC=根號21 + 11    線段CD=x 
則x最接近下列何者?

(1)3  (2)5  (3)7  (4)8  (5)9


麻煩老師撥空回答了   感謝老師!^__^

 回覆此篇留言回覆   Hidden:   2016/2/9 下午 10:27:47  回覆:2016/2/12 下午 04:54:02  ()
【胡孟青回覆】
1. 自然數除以9的餘數=各位數字和除以9的餘數

也可以任意切割, 例如12345除以9的餘數=12+34+5除以9的餘數

本題中一位數有9個,二位數有90個,因此200-9-90*2=11

即第200位為第4個三位數(即103)的十位數字

故所求=1+2+3+...+102+10除以9的餘數

=102*103/2+10=5263除以9的餘數=7

2016/2/11 上午 10:27:52 - 1樓  回覆此篇留言回覆

【胡孟青回覆】
2. 假設AB與CD交於P

則AC*BC=AB*CP, 因為只要估算, 可以知道CP略小於2

則CD=2CP略小於4, 故選(1)

2016/2/11 上午 10:34:16 - 2樓  回覆此篇留言回覆

【南投高中 楊小傑回覆】
感謝老師指導!^_^

2016/2/12 下午 04:54:03 - 3樓  回覆此篇留言回覆

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留言作者/內容〈729〉

南投高中 楊小傑

老師:

晚安~

請教老師以下兩題..

第一題是單選題:
過原點O的直線L 和  y= Log2x(底數2  真數x) 的圖形交於A.B兩點..
若線段OA: 線段AB= 1:3

則A點的X座標是多少?

(1)根號2  (2) 2的三次方根 (3)4的三次方根 (4)3/2 (5)根號3

第2題 是多選題
若f(x)是領導係數為1的三次實係數多項式..
f(1)=1  f(2)=2 f(5)=5
則f(x)=0 在下咧哪兩個整數之間必有實根?

(1)-1 0 (2)0  1(3) 1  2(4)2  3(5)3  4


麻煩老師了  謝謝^_^

 回覆此篇留言回覆   Hidden:   2016/1/25 下午 10:50:22  回覆:2016/1/28 下午 03:07:03  ()
【胡孟青回覆】
請參考
https://dl.dropboxusercontent.com/u/48168846/ans/ans160126.swf

2016/1/26 下午 11:57:25 - 1樓  回覆此篇留言回覆

【南投高中 楊小傑回覆】
感謝老師的指導  學生明白了! ^_^

2016/1/28 下午 03:07:04 - 2樓  回覆此篇留言回覆

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留言作者/內容〈728〉

南投高中 楊小傑

老師,晚安.^_^

想請教兩題...

一題屬於一元一次方程式..
可以使用未知數..
甲乙兩隊合作修鐵路..兩隊每天工作量固定..
甲先施工4天..完成全部的三分之一後..
乙再加入...一起施工五天才完成..
已知乙每天修125公尺..請問甲乙共修多少公尺?


另一題是
不能使用未知數..

小羊和爸爸相差16歲..
三年前爸爸是小羊的4倍多4歲
三年後爸爸是小羊的3倍少1歲..
請問現在爸爸和小羊各幾歲?


麻煩老師了...感謝感謝!!

 回覆此篇留言回覆   Hidden:   2016/1/20 下午 10:54:47  回覆:2016/1/22 下午 02:21:36  ()
【胡孟青回覆】
1. 假設甲每天做x公尺, 則由題意可知2*(4x)=5(x+125)
(即後面五天完成的部分為前四天的2倍)
可得x=625/3

2.完全不使用未知數有點困難, 不過解題關鍵在不論何時,兩人均差16歲
因此三年前,兩人的"差距"是當時小羊的3倍多4歲
故當時小羊是4歲,而爸爸是20歲
但是這樣三年後小羊10歲而爸爸26歲並不滿足題意
我是覺得題目可能有問題
而且照理說前兩個條件就可以解出來了
第三個條件是多餘的,或是把兩人相差16歲的條件拿掉

2016/1/22 上午 05:51:01 - 1樓  回覆此篇留言回覆

【南投高中 楊小傑回覆】
感謝胡老師  謝謝您! 學生明白了!! ^_^

2016/1/22 下午 02:19:34 - 2樓  回覆此篇留言回覆

【南投高中 楊小傑回覆】
看來第二題題目一定是錯了..
因為那是親戚的小孩寫在紙上問我的  ~ ~

2016/1/22 下午 02:21:37 - 3樓  回覆此篇留言回覆

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留言作者/內容〈727〉

南投高中 楊小傑

胡老師您好:


想請問以下三題  麻煩老師了!


1.   將16個正數排列成矩陣樣子  4列4行 
每一橫列的數成等差   每一直行的數成等比  且所有等比數列的公比皆相等 

已知 a24=1(也就是第2列第4行的數是1) a42=1/8  a43=3/16

求 a11+a22+a33+a44的值?   答案是13/8



2.   如果有5張紙  每一張都可以撕成5張,也可以不撕,
     被撕後的紙片每張也可以繼續撕成5張  或者不撕,
     請問重覆這樣的步驟,可以得到198張紙片嗎?        答案:  不可以


3.   在4和64之間插入2011個相異正數a1 a2 a3...a2011
     使得 4,a1,a2,a3....a2011,64 形成 一個等比數列
     若a1,a2....a2011 這 2011個 正數的乘積是4的n次方  求正整數n是多少?
                     
     答案   n=4022

麻煩老師了 感謝感謝!^_^
 

 回覆此篇留言回覆   Hidden:   2016/1/18 下午 02:46:13  回覆:2016/1/19 下午 02:08:08  ()
【胡孟青回覆】
1. 由a(4,2)與a(4,3)可知a(4,4)=1/4
則a(3,4)=1/2,即每一行由下往上的公比均為2
故所求=1/2 +1/2 +3/8 +1/4 =13/8

2.每撕一張紙,紙的數量會增加4,而一開始有五張紙
故紙的數量必為5+4n, 而198除以4餘2,故不可能

3.等比數列頭尾配對相乘之值相同,
故a1*a2011=a2*a2010=...=a1005*a1007=4*64=256=4^4
則此2011項之乘積為(4^4)^(2011/2)=4^4022
得所求為4022

2016/1/19 上午 10:26:27 - 1樓  回覆此篇留言回覆

【南投高中 楊小傑回覆】
喔喔  謝謝老師的指導! 學生明白了! ^_^

2016/1/19 下午 02:08:08 - 2樓  回覆此篇留言回覆

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