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| 留言作者/內容〈883〉 | |
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a x y’’(x) + b y’(x) + c x y(x) = f(x) y(x) = x^(1/2 - b/(2 a)) Y_((a - b)/(2 a))((sqrt(c) x)/sqrt(a)) ( integral_1^x (π f(ζ) ζ^(b/(2 a) - 1/2) J_((a - b)/(2 a))((ζ sqrt(c))/sqrt(a)))/(2 a) dζ) + x^(1/2 - b/(2 a)) J_((a - b)/(2 a))((sqrt(c) x)/sqrt(a)) ( integral_1^x-(π f(ξ) ξ^(b/(2 a) - 1/2) Y_((a - b)/(2 a))((ξ sqrt(c))/sqrt(a)))/(2 a) dξ) + k_1 x^((a - b)/(2 a)) J_((a - b)/(2 a))((sqrt(c) x)/sqrt(a)) + k_2 x^((a - b)/(2 a)) Y_((a - b)/(2 a))((sqrt(c) x)/sqrt(a)) |
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2020/5/17 下午 05:53:36
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| 留言作者/內容〈882〉 | |
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(a x^2 - b) x^2 y’’(x) - (a x^2 + b) x y’(x) + (a x^2 + b) y(x) = f(x) {y[x] == (-(b Integrate[-(f["ζ"]/("ζ"^2 a - b)^2), {"ζ", 1, x}]) + 2 x^2 Integrate[-f["ξ"]/(2 "ξ"^2 b) + (a f["ξ"])/(2 ("ξ"^2 a - b) b) + (-(a f["ξ"]) - 2 a f["ξ"] Log["ξ"])/(2 ("ξ"^2 a - b)^2), {"ξ", 1, x}] - 2 a x^2 Integrate[-(f["ζ"]/("ζ"^2 a - b)^2), {"ζ", 1, x}] Log[x])/(2 x) + x Subscript[c, 1] + ((-b - 2 a x^2 Log[x]) Subscript[c, 2])/x} |
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2020/5/17 下午 05:21:44
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| 留言作者/內容〈881〉 | |
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a*y’’’’’+b*y=f(x) {y[x] == Integrate[((-1)^(4/5) (1 - (-1)^(1/5) + (-1)^(2/5)) E^(-((b^(1/5) Subscript[ξ, 1])/a^(1/5)) + ((-1)^(1/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 1])/a^(1/5) + ((-1)^(3/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 1])/a^(1/5) - ((-1)^(4/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 1])/a^(1/5) + ((1 - (-1)^(1/5) + (-1)^(2/5) - (-1)^(3/5) + (-1)^(4/5)) b^(1/5) Subscript[ξ, 1])/a^(1/5)) f[Subscript[ξ, 1]])/(5 (-1 + (-1)^(1/5)) a^(1/5) b^(4/5)), {Subscript[ξ, 1], 1, x}]/E^(((-1)^(2/5) b^(1/5) x)/a^(1/5)) + Integrate[((-1)^(4/5) E^(-((b^(1/5) Subscript[ξ, 2])/a^(1/5)) + ((-1)^(1/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 2])/a^(1/5) - ((-1)^(2/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 2])/a^(1/5) + ((-1)^(3/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 2])/a^(1/5) + ((1 - (-1)^(1/5) + (-1)^(2/5) - (-1)^(3/5) + (-1)^(4/5)) b^(1/5) Subscript[ξ, 2])/a^(1/5)) f[Subscript[ξ, 2]])/(5 a^(1/5) b^(4/5)), {Subscript[ξ, 2], 1, x}]/E^(((-1)^(4/5) b^(1/5) x)/a^(1/5)) + E^(((-1)^(1/5) b^(1/5) x)/a^(1/5)) Integrate[((-1)^(4/5) (-1 + (-1)^(1/5) - 2 (-1)^(2/5) + (-1)^(3/5)) E^(-((b^(1/5) Subscript[ξ, 3])/a^(1/5)) - ((-1)^(2/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 3])/a^(1/5) + ((-1)^(3/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 3])/a^(1/5) - ((-1)^(4/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 3])/a^(1/5) + ((1 - (-1)^(1/5) + (-1)^(2/5) - (-1)^(3/5) + (-1)^(4/5)) b^(1/5) Subscript[ξ, 3])/a^(1/5)) f[Subscript[ξ, 3]])/(5 (-1 + (-1)^(1/5)) (1 + (-1)^(1/5)) a^(1/5) b^(4/5)), {Subscript[ξ, 3], 1, x}] + E^(((-1)^(3/5) b^(1/5) x)/a^(1/5)) Integrate[-((-1)^(4/5) (-1 + 2 (-1)^(1/5) - (-1)^(2/5) + (-1)^(3/5)) E^(-((b^(1/5) Subscript[ξ, 4])/a^(1/5)) + ((-1)^(1/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 4])/a^(1/5) - ((-1)^(2/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 4])/a^(1/5) - ((-1)^(4/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 4])/a^(1/5) + ((1 - (-1)^(1/5) + (-1)^(2/5) - (-1)^(3/5) + (-1)^(4/5)) b^(1/5) Subscript[ξ, 4])/a^(1/5)) f[Subscript[ξ, 4]])/(5 (-1 + (-1)^(1/5)) (1 + (-1)^(1/5)) a^(1/5) b^(4/5)), {Subscript[ξ, 4], 1, x}] + Integrate[(E^(((-1)^(1/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 5])/a^(1/5) - ((-1)^(2/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 5])/a^(1/5) + ((-1)^(3/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 5])/a^(1/5) - ((-1)^(4/5) b^(1/5) Subscript[ξ, 5])/a^(1/5) + ((1 - (-1)^(1/5) + (-1)^(2/5) - (-1)^(3/5) + (-1)^(4/5)) b^(1/5) Subscript[ξ, 5])/a^(1/5)) f[Subscript[ξ, 5]])/(5 a^(1/5) b^(4/5)), {Subscript[ξ, 5], 1, x}]/E^((b^(1/5) x)/a^(1/5)) + Subscript[c, 1]/E^(((-1)^(2/5) b^(1/5) x)/a^(1/5)) + Subscript[c, 2]/E^(((-1)^(4/5) b^(1/5) x)/a^(1/5)) + E^(((-1)^(1/5) b^(1/5) x)/a^(1/5)) Subscript[c, 3] + E^(((-1)^(3/5) b^(1/5) x)/a^(1/5)) Subscript[c, 4] + Subscript[c, 5]/E^((b^(1/5) x)/a^(1/5))} |
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2020/5/17 下午 04:14:55
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| 留言作者/內容〈880〉 | |
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(Limit[D[h[f[x], g[y[x]]], x], x -> p[x]] -> w[x]) == t[x] h[f[x], g[y[x]]] == Subscript[c, 1] + g[y[x]] Subscript[c, 2] + (f[x] (InverseFunction[Limit, 1, 2][InverseFunction[Equal, 1, 2][t[x], w[x]], x == p[x]] - Subscript[c, 2] g’[y[x]] y’[x]))/f’[x] |
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2020/5/13 下午 06:42:14
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| 留言作者/內容〈879〉 | |
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D[y[x], {x, n}] == Limit[Sum[(-1)^(-k + n) Binomial[n, k] y[x + k ϵ], {k, 0, n}]/ϵ^n, ϵ -> 0] /; Element[n, Integers] && n >= 1 |
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2020/5/13 下午 06:40:20
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| 留言作者/內容〈878〉 | |
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y(x)=b*x*f(y’(x))+c*g(y’(x)) {x == c E^Integrate[(b f’["ξ"])/("ξ" - b f["ξ"]), {"ξ", 1, "ζ"}] Integrate[g’["ζ"]/(E^Integrate[(b f’["ξ"])/("ξ" - b f["ξ"]), {"ξ", 1, "ζ"}] ("ζ" - b f["ζ"])), "ζ"] + E^Integrate[(b f’["ξ"])/("ξ" - b f["ξ"]), {"ξ", 1, "ζ"}] Subscript[k, 1] && b x f["ζ"] + c g["ζ"] == y[x]} |
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2020/5/13 下午 05:09:08
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| 留言作者/內容〈877〉 | |
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(a*x^2-b)*x^2*y’’-(a*x^2+b)*x*y’+(a*x^2+b)*y=f(x) {y[x] == (-(b Integrate[-(f["ζ"]/("ζ"^2 a - b)^2), {"ζ", 1, x}]) + 2 x^2 Integrate[-f["ξ"]/(2 "ξ"^2 b) + (a f["ξ"])/(2 ("ξ"^2 a - b) b) + (-(a f["ξ"]) - 2 a f["ξ"] Log["ξ"])/(2 ("ξ"^2 a - b)^2), {"ξ", 1, x}] - 2 a x^2 Integrate[-(f["ζ"]/("ζ"^2 a - b)^2), {"ζ", 1, x}] Log[x])/(2 x) + x Subscript[c, 1] + ((-b - 2 a x^2 Log[x]) Subscript[c, 2])/x} |
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2020/5/13 下午 05:05:17
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| 留言作者/內容〈876〉 | |
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有三根柱子，原有n個圓盤套在同一根柱子，圓盤依大小由下而上，越上層則越小。欲完成移動n個圓盤套在其他的同一根柱子，則需要移動圓盤共2^n-1次。 |
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2020/5/12 下午 06:00:13
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| 留言作者/內容〈875〉 | |
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實數的完備性在教學上是有些麻煩， 這是相當「概念」的東西； 今天講這個題目是因為這裡面有些要注意的小地方， 提出來供大家參考。在小時候我們學數系都從數手指頭開始， 這就是自然數系，在自然數系 N 之後，有正有理數系（分數）， 然後推廣到負數，因此有了整數全體，從整數再推廣就是所有的有理數， 這要如何介紹呢？一開始先有自然數，然後有分數，分數就是因為除不盡而產生的， 也可說是為了要解如 5x=3 的方程式而產生， 負數的出現是因為要解如 x+7= 的方程式， 亦即是要作 2-7=-5 的運算，因為要使運算成為可能就必須慢慢地把數系擴展， 不擴展就沒有辦法，這是發展整個數系的一個動機。 在運算上，從加減乘除一直做到有理數就完備了， 因為加減乘除在有理數中都可以自由運算下去。 再下去的說法，大家都曉得。 「為什麼會出現 R 是因為 x2 =2 這個方程式在有理數系中沒有解，可見有理數系是不夠用的，所以出現了無理數」； 當然也因為 x2+1 在實數系中不夠解，所以出現了 i ，因此我們可以擴展到複數系。 在從 N 擴展到有理數系 Q 是為了要使四則運算不受限制，解方程式是一個很重要的主題。 但由 Q 再擴展下去是否還是為了解方程式的理由？ |
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2020/5/7 上午 05:07:27
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| 留言作者/內容〈874〉 | |
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代數曲線的研究其實與 Riemann 曲面 (Riemann surface) 的研究是一致的。代數曲線與代數曲面的研究，在十九世紀後半期與二十世紀初期德國與意大利的數學家已經獲得很深入的結果。更高維度的代數流形 (algebraic varieties) 的研究是近代代數幾何探討的對象。 |
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2020/5/6 下午 04:58:00
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